Legge di Ampère

Circuitazione:

La circuitazione è un concetto matematico che riguarda un cammino lungo un percorso chiuso in un campo vettoriale

$$ \Gamma_\gamma(\vec E) = {\vec E_1} \cdot \Delta \vec s_1 + ... + \vec E_n \cdot \Delta \vec s_n = \sum_{i=1}^n\vec E_i \cdot \Delta \vec s_i $$

Circuitazione di un campo magnetico indotto:

La legge di Ampère dice che la circuitazione di un campo elettrico indotto equivale alla permeabilità magnetica moltiplicata per la sommatoria di tutte le correnti concatenate.

$$ \Gamma_\gamma(\vec B) =\mu_0\sum_{k=1}^n i_k $$

Viene considerata una corrente concatenata una corrente che attraversa la superficie avente come bordo gamma.

Cosa nota Maxwell

Caso del condensatore in carica:

Maxwell prende in considerazione il caso del condensatore in fase di carica. Nota che, se si prende in esaminazione lo stesso filo variando la superficie considerata che, in un caso è attraversata da una corrente concatenata, nell'altro no, la circuitazione assume valori diversi (conclusione assurda).

Quindi intuisce che c'è un altro fattore che influenza la circuitazione di un campo magnetico: un campo elettrico variabile. Questo termine viene chiamato “Corrente di spostamento”

$$ \Gamma_\gamma(\vec B) =\mu_0(i+i_s) $$

Corrente di spostamento:

Per il principio di conservazione della carica elettrica, la variazione nel tempo delle cariche Q sulle armature è legata alla corrente istantanea i dalla relazione:

$$ i=\frac{dQ}{dt} $$

Il flusso del campo elettrico è:

$$ \Phi(\vec E)=\frac{Q}{\varepsilon_0} $$

Dalla formula inversa otteniamo:

$$ Q=\varepsilon_0\Phi(\vec E) $$

Tornando alla formula della conservazione della carica eletrrica, sostituiamo Q con la sua espressione in termini di flusso ottenuta prima:

$$ i_s=\frac{\varepsilon_0{d\Phi(\vec E)}}{dt} $$

Quindi la legge per esteso diventa:

$$ \Gamma_\gamma(\vec B ) = \mu_0(i + \varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}) $$

Derivate nella fisica

A cosa servono le derivate:

In fisica le derivate risolvono il problema di non potere calcolare un valore istantaneo di una misura che dipende da una variazione.

Corrente di spostamento espressa in derivate:

Prima abbiamo espresso la corrente di spostamento come:

$$ i_s=\frac{\varepsilon_0{d\Phi(\vec E)}}{dt} $$

In questa formula facciamo uso delle derivate per calcolare la variazione istantanea del flusso rispetto al tempo e così facendo ottenere la corrente di spostamento istantanea. Di conseguenza questo ci permette di esaminare sistemi che sono in variazione in un singolo istante (tempo infinitesimo) anzichè in un arco di tempo, come avremmo fatto utilizzando il delta per definire la variazione del flusso nel tempo.

$$ i_s=\frac{\varepsilon_0{\Delta\Phi(\vec E)}}{\Delta t} $$